viernes, 27 de diciembre de 2013

Soluciones de una ecuación de segundo grado

Ya hemos comentado como resolver ecuaciones de segundo grado pero, a diferencia de las de primer grado, no siempre tienen solución. El número de soluciones que tiene una ecuación de segundo grado dependen de la siguiente expresión

b2 - 4ac

que se denomina discriminante e interviene en la fórmula de resolución.

Justificación

Esta expresión determina el número de soluciones porque en la fórmula aparece de la siguiente manera


entonces, el signo del discriminante determina cuando se puede calcular la raíz cuadrada ya que, no se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo.

Ninguna solución

Cuando se cumple que

b2 - 4ac < 0

entonces, no se puede resolver la raíz y, por lo tanto, la ecuación de segundo grado no tiene solución.


Una solución

Cuando se cumple que

b2 - 4ac = 0

entonces, el resultado de la raíz es 0 y, por lo tanto, la ecuación de segundo grado sólo tiene una solución.


Dos soluciones

Cuando se cumple que

b2 - 4ac > 0

entonces, se puede resolver la raíz y separando los dos signos, como se ha hecho en la entrada Ecuaciones de segundo grado, se obtienen dos soluciones distintas de la ecuación de segundo grado.

Ecuaciones de segundo grado

En esta entrada vamos a empezar a trabajar con ecuaciones de segundo grado. Una ecuación de segundo grado se puede expresar de manera general como

ax2+bx+c=0

donde el coeficiente a es distinto de cero para que el término x2 aparezca en la ecuación. Este término es de segundo grado y es aquel que determina que la ecuación sea de segundo grado, por eso, es necesario que aparezca porque si no sería una ecuación de primer grado.


Resolución de ecuaciones de segundo grado

Este tipo de ecuaciones tienen la ventaja que siempre se resuelven igual, que es con la siguiente fórmula


Para poder aplicarla, la ecuación debe estar expresada de la forma general para identificar correctamente los coeficientes ab y c. Hay veces que será necesario hacer ciertos cálculos previos hasta obtener dicha expresión.


Ejemplo de resolución

Vamos a coger la siguiente ecuación

(x-3)(x+2) = -4

Multipliquemos el lado izquierdo y así obtenemos que

x2 -3x + 2x -6 = -4 ---------> x2 -x -6 = -4

Con la regla de la resta, pasamos el 4 sumando al otro lado, así se obtiene

x2 -x -6 +4 = 0 ----------> x2 -x -2 =0

Ahora, ya tenemos la ecuación en la expresión general con a=1b=-1 y c=-2. Aplicamos la fórmula


Cuando llegamos a este punto, vemos que podemos sacar dos soluciones distintas, una con el signo más y otra con el signo menos.


Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son 2 y -1.

Actividades y problemas de ecuaciones de primer grado

Para finalizar con las ecuaciones de primer grado, después de ver qué son y cómo resolverlas, la carpeta que hay en el apartado de Documentos de este blog es un enlace a mi carpeta personal de Google Drive, donde podéis encontrar un documento llamado Activitats sobre equacions de primer grau con

  • Ejercicios sobre conceptos previos a las ecuaciones de primer grado.
  • Ejercicios de resolución de ecuaciones de primer grado de los distintos tipos que se han explicado a lo largo del blog.
  • Problemas que se resuelven utilizando ecuaciones de primer grado.
Para resolver los problemas, hay que iniciarse en la resolución de estos ya que la parte más complicada para resolverlos es extraer la información útil del enunciado y saber expresarla en términos matemáticos a través del lenguaje algebraico. Vamos a resolver uno como ejemplo:

La suma de dos números pares consecutivos es 102. Encontrar dichos números.
Lo primero es saber que un número par se expresa algebraicamente como 2x.
La expresión del número par consecutivo a este es 2x+2.
Por lo tanto, la suma de ambos es 2x + 2x+2 y, como el enunciado dice que vale 102, se obtiene así la ecuación de primer grado

2x + 2x + 2 = 102

Resolviéndola como ya sabemos, se obtiene que la solución de la ecuación es x=25.
Pero, esta solución no es la del problema, no hay que olvidar qué nos pide el problema. Hay que calcular los dos números pares consecutivos, que son
  • 2x, por lo tanto, 2·25 = 50.
  • 2x+2, por lo tanto, 2·25 + 2 = 52.
Se puede comprobar que 50 + 52 = 102, por lo tanto, la solución del problema es 50 y 52.

Un resumen sobre las ecuaciones de primer grado

Con las entradas ¿Cómo resolver ecuaciones de primer grado? y Ecuaciones de primer grado con denominadores, hemos visto los distintos procedimientos para resolver ecuaciones de primer grado. Si nos fijamos, en todas las que se han resuelto siempre hemos encontrado una solución y, hay que saber que:
las ecuaciones de primer grado siempre tienen solución y, además, sólo hay una.
Los pasos para resolver cualquier ecuación de primer grado son

  1. Si hay paréntesis, resolver como en la entrada ¿Cómo resolver ecuaciones de primer grado?.
  2. Si hay denominadores, resolver como en la entrada Ecuaciones de primer grado con denominadores.
  3. Agrupar las incógnitas y los números utilizando las reglas de las ecuaciones.
  4. Hacer los cálculos para obtener la solución.
Estos pasos no son estrictos, es decir, el paso 3 puede ser conveniente hacerlo durante algún momento de la resolución. Por ejemplo, para la ecuación

2( x + 3 +2 ) -1 = 3( 2x - 1 ) + x -2x

se puede primero agrupar antes de resolver los paréntesis.
  • En el paréntesis del lado izquierdo, podemos hacer primero 3+2.
  • En el lado derecho, podemos agrupar primero x-2x.
Así, tenemos que la ecuación queda como

2( x + 5 ) -1 = 3( 2x - 1 ) - x

Ahora, ya se resuelven los paréntesis, y se obtiene que

2x + 2·5 - 1 = 6x - 3·1 - x --------> 2x + 10 - 1 = 6x - 3 - x

Ahora, se puede agrupar en los dos lados antes de despejar.
  • En el lado izquierdo, se puede hacer el cálculo 10-1.
  • En el lado derecho, podemos calcular 6x-x.
La ecuación queda entonces como

2x + 9 = 5x - 3

Ahora, pasamos las x al lado derecho y los números al izquierdo, para obtener la ecuación

9 + 3 = 5x - 2x --------> 12 = 3x

Pasando el 3 dividiendo, se obtiene que

12/3 = x ----------> 4 = x

que, con la regla de la igualación, se obtiene que la solución es x=4.

Ecuaciones de primer grado con denominadores

En esta entrada vamos a tratar otro aspecto de las ecuaciones de primer grado, las ecuaciones con denominadores.

Primer tipo de ecuaciones con denominadores

Primero vamos a trabajar con ecuaciones de primer grado con algún denominador cuya resolución se realiza con las reglas anteriormente vistas. Con la siguiente ecuación

x/2 + 2 = 3

vamos a despejar x como ya hemos visto antes, es decir, pasamos el 2 al lado derecho restando, con la regla de la suma,

x/2 = 3-2  ------->   x/2 = 1

Ahora, con la regla del producto, pasamos el 2 multiplicando al lado derecho

x = 2·1

y, así, obtenemos la solución x=2.

Resolución general de ecuaciones con denominadores

El método anterior no siempre se puede hacer, por eso, vamos a ver un método general para resolverlas. Vamos a coger la siguiente ecuación

x + 1/2 = 2x/3 - 2

En este caso, no se puede aplicar el método anterior porque hay dos miembros con la x que hay que agrupar antes de despejar la x. Para poder resolverla, primero hay que calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores que hayan en la ecuación. En este caso, hay que calcular el m.c.m. de 2 y de 3, es decir,

m.c.m.(2,3) = 6

Una vez obtenido, el siguiente paso es expresar cada término de la ecuación con denominador 6, de igual manera que se hace con las fracciones. La ecuación queda entonces como

6x/6 + 3/6 = 4x/6 - 12/6

Como todos los términos tienen el mismo denominador, podemos simplificarlos, quedándonos únicamente con los numeradores. Así obtenemos que

6x + 3 = 4x - 12

En esta ecuación, resolvemos como en la entrada ¿Cómo resolver ecuaciones de primer grado?, para así obtener que la solución es

x = - 15/2

lunes, 23 de diciembre de 2013

Ecuaciones de primer grado

Se dice que la ecuación

2x+5=x-9

es una ecuación de primer grado porque la incógnita que aparece es x. En general, una ecuación de primer grado es una ecuación en la que las incógnitas que aparecen tienen grado uno y no se multiplican ni dividen entre ellas. Por ejemplo,

3x+y=5   ,    x+3z=y    ,     x+8=2(x+9)    ,      x/2+5y=3x-y/3

son todas ellas ecuaciones de primer grado porque las incógnitas tienen todas grado uno y no se multiplican ni dividen entre ellas. En cambio,

xy+5=z    ,     3x+5yz=0    ,     3x+y=x2    ,     x3+y/2=3x+9y

no son ecuaciones de primer grado, las dos primeras porque aparecen incógnitas multiplicándose y las otras dos porque aparecen incógnitas con grado mayor que uno.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Las ecuaciones de primer grado que se trabajan en este blog son aquellas que tienen una única incógnita, por ejemplo,

2x+5=x-9    ,     x+3=2x-1     ,     x+8=2(x+9)    ,      x/2+5=3x-1/3

Hay que tener en cuenta que podemos tener ecuaciones con otras letras y,z,v... pero lo que cuenta es que sólo aparezca una de ellas en la ecuación.

Resolución


Para resolver este tipo de ecuaciones hay que realizar determinados procedimientos que se describen en las siguientes entradas: ¿Cómo resolver ecuaciones de primer grado? y Ecuaciones de primer grado con denominadores.

¿Cómo resolver ecuaciones de primer grado?

Para resolver ecuaciones de primer grado con una sola incógnita hay que tener en cuenta las tres reglas que se explican en una entrada anterior.

Agrupar y despejar

Cuando se tiene una ecuación de primer grado, la idea principal es agrupar las incógnitas en un lado de la ecuación y los datos en el otro para, con las operaciones adecuadas, obtener la solución.
Por ejemplo, para la ecuación

x+6-3x=1-4x+9

agrupemos las incógnitas en el lado izquierdo y los números en el lado derecho.
  • Como 6 está sumando, pasa al otro lado restando, utilizando la regla de la suma.
  • Como 4x está restando, pasa al otro lado sumando, utilizando la regla de la resta.

Así, se obtiene que

x-3x+4x=1+9-6

Realizando las operaciones, se tiene

2x=4

y, con la regla del producto, se obtiene la solución

x=4/2=2

Ecuaciones con paréntesis

Cuando aparecen paréntesis en la ecuación, lo primero es resolverlos. Para la ecuación

x+8=2(x-9)

la operación x-9 no puede hacerse, por lo tanto, realizamos el producto 2(x-9) para resolverlo,

x+8=2x-2·9

Agrupemos las incógnitas en el lado derecho y los números en el izquierdo

8+2·9=2x-x

y, realizando las operaciones, se obtiene que

26=x


que, con la regla de la igualación, se obtiene la solución, que es x=26.

Reglas que hay que conocer

El estudio de las ecuaciones va acompañado de tres reglas muy importantes que hay que saber usar para poder resolverlas.

Regla de la igualación

Es más un apunte a tener en cuenta que una regla porque es algo lógico.
Hay que tener en cuenta que si 3=x, entonces esto es lo mismo que x=3, es decir, en cualquier ecuación podemos intercambiar el lado de la izquierda con el de la derecha cuando sea conveniente.

Regla de la suma/resta

Esta regla se utiliza para pasar términos que están sumando o restando de un lado a otro de la ecuación. La nueva ecuación es equivalente a la original y, por lo tanto, no cambian las soluciones. En la ecuación

2x+5=9-x

vamos a pasar el número 5 al lado derecho y la incógnita x al lado izquierdo.
  • Como 5 está sumando, pasa al otro lado restando.
  • Como x está restando, pasa al otro lado sumando.
Con esto, la ecuación queda como

2x+x=9-5

Regla del producto/división

Esta regla se utiliza para pasar términos que están multiplicando o dividiendo de un lado a otro de la ecuación. La nueva ecuación es equivalente a la original y, por lo tanto, no cambian las soluciones. En las ecuaciones

2x=8   ,   -2x=8   ,    x/3=9    ,    x/(-3)=9

vamos a pasar los números 2, -2, 3 y -3 al lado derecho.
  • Como 2 y -2 están multiplicando, pasan al otro lado dividiendo.
  • Como 3 y -3 están dividiendo, pasan al otro lado multiplicando.
Con esto, las ecuaciones quedan como

x=8/2    ,     x=8/(-2)    ,      x=9·3     ,     x=9·(-3)

viernes, 20 de diciembre de 2013

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas en las que aparecen valores conocidos y desconocidos relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores desconocidos se denominan incógnitas, representadas generalmente por letras.
El objetivo al resolver una ecuación matemática es hallar el valor o los valores de las incógnitas que hacen que se cumpla la igualdad. Por ejemplo, para la siguiente ecuación

x+5=2x+1

el valor de la x que hace que se cumpla la igualdad es el valor 4, por lo tanto, se dice que x=4 es la solución de la ecuación.
El resultado de una ecuación no se obtiene probando números hasta acertar con el adecuado, esto es un trabajo inapropiado. Para ello, existen procedimientos generales que nos permiten resolverlas.
Pero, primero, hay que identificar el tipo de ecuación porque no todas se resuelven igual. Determinar qué tipo de ecuación tenemos nos proporcionará el procedimiento adecuado para poder resolverla. Por lo tanto, el primer paso a tener en cuenta al resolver una ecuación es determinar de que tipo es esta.

martes, 17 de diciembre de 2013

Conceptos preliminares

Con el fin de poder entender adecuadamente la temática de este blog y sus distintos elementos, es necesario tener un conocimiento sobre otros aspectos de las matemáticas. Como ya sabemos, los distintos campos matemáticos están entrelazados y, así, se conforma el maravilloso mundo de las Matemáticas.

Los Números.

Los números son, posiblemente, el primer elemento matemático con el que nos encontramos en nuestra vida. Además, son de uso diario y saber trabajar correctamente con ellos es esencial para todos. Para seguir adecuadamente el blog, también son necesarios y por eso se requiere un buen conocimiento de ellos. Por lo tanto, hay que conocer

  • Los Números Naturales y Enteros.
  • Los Números Racionales o fracciones.
  • Los Números Reales.
No solo basta con saber cuáles son, es decir, cuando digo hay que conocerlos me refiero a saber cuáles son y saber realizar correctamente operaciones con ellos. En consecuencia, también son necesarios conocer las potencias y sus propiedades.

El Álgebra.

El álgebra es una de las partes fundamentales de las Matemáticas y, por lo tanto, necesaria para trabajar en cualquier ámbito matemático. Además, para este blog, cobra una importancia vital ya que las ecuaciones no son más que expresiones algebraicas con una igualdad. Por lo tanto, hay que conocer
  • Lenguaje algebraico. Formalizar nuestro lenguaje en matemáticas.
  • Polinomios y saber trabajar con ellos.
Para más ayuda sobre estos aspectos, se puede consultar http://plesaramat.blogspot.com.es/


Bien, pues con todo esto
¡EMPECEMOS!